三相誘導電動機のスターデルタ始動時の電流について
三相の誘導電動機をスターデルタ始動した場合の電流の話です。
皆様ご承知の様に、スターデルタ始動はよく用いられる始動方法です。
この始動方式を用いた場合の、始動電流及び始動トルクの関係は次の様に説明されています。
説明その１
始動電流は全電圧始動の１／３になり、始動トルクは１／３になる。
説明その２
始動電流は全電圧始動の１／√３になり、始動トルクは１／３になる。
一つの事項に対する説明が２種類ある場合、次の事が言えます。
片方が間違っている。又は両方間違っている。
結論を先に書きます。
説明その１ ＜＝＝ 正しい。
説明その２ ＜＝＝ 間違い。
結構権威のある解説書などにも、この間違った記載があります。
何処でどう間違えたかは良く解りませんが、間違いは間違いです。
まず、基本回路ですが下図の様な回路で考えます。
つまり、線電流は巻線電流の√３倍の電流が流れます。
ベクトル演算式は取り敢えず忘れて頂いて結構です。
電流値の大きさのみの比較です。
どうしてこうなるかは、「なるからなる。」としてください。
次に下記のような回路を考えます。
何やら奇怪な回路図ですが、この回路は、誘導電動機の巻線を△からＹに組み直し、電源線間電圧を√３倍にしたものです。
Ｎ相の電流は０（ゼロ）になります。Ｎ線は有っても無くても同じですが、取り敢えず書いておきました。実際には線間電圧が３４６Ｖの電圧は商用電源には有りません。有りませんが、作ったらこうなるという事を考えます。
上図の場合、線電流と巻線電流は次の関係式になります。
ここで、２つの回路（図１及び図２）の電動機の出力を考えます。
コイルの組み方を変えて、線間電圧を変えた。
図１の場合の出力をＰ[ｋＷ]とすると、図２の出力は・・・次の内のどれか？
（１） Ｐ[ｋＷ]で同じ。
（２） √３×Ｐ[ｋＷ]になる。
（３） ３×Ｐ[ｋＷ]になる。
（４） Ｐ／√３[ｋＷ]になる。
（５） Ｐ／３[ｋＷ]になる。
正解は（１）です。
どうして、こうなるかを次項で説明します。
説明の為に次の様な回路を考えます。
またまた、奇怪な回路図です。
この回路図は、誘導電動機の巻線をバラバラにして、各々に別々の単相電源を印加したものです。電源の電圧は全部同じで、２００Ｖです。電圧位相はそれぞれ１２０度の位相です。つまり三相交流と同じです。
巻線の特性は全部同じですので、次の関係式が成り立ちます。
つまり電流値は全部同じ大きさになります。
これで、誘導電動機は回るか？
ご心配無く。ちゃんと回ります。
では、この回路は、図１に当てはまるものでしょうか？それとも図２に当てはまるものでしょうか？この図（図３）は図１と図２両方に当てはまります。巻線コイル側から見ると、端子間に印加された電圧は、図１、図２、図３総て同じで２００Ｖです。
電源回路の線間電圧がどうなっていようと関係有りません。１２０度ずれた電圧２００Ｖが６つの端子（ＵＶ、ＷＸ、ＹＺ）にそれぞれ印加されれば、
それで良い訳です。
従って、コイルに流れる電流は、図１、図２、図３で総て同じ電流になります。
になります。
コイルに流れる電流が全部同じ、コイルに印加された電圧が全部同じ、つまり、出力は全部同じでＰ[ｋＷ]になります。（図１、図２、図３に共通。）
次に、図１と図２の線電流を比べます。
図１の線電流は、図２の線電流の√３倍です。言い換えると、図２の線電流は、図１の１／√３倍です。図１に対して、図２は線間電圧を√３倍しましたが、線電流は１／√３倍になった訳です。
度は、図２の線間電圧を下げます。
負荷のインピーダンスは変わりませんので、線間電圧を１／√３倍にすれば、線電流は自動的に１／√３倍になります。（消費電力は１／３になる。消費電力は電圧の２乗に比例。）
つまり、図４の線電流は図２の線電流×１／√３倍になります。図２の線電流は図１の線電流×１／√３倍でしたから、図４の線電流は図１の線電流×１／３倍になります。図４からＮ線を撤去します。
そうすると、この図は、スターデルタ始動のスター時の結線になります。次項参照。
下記に△結線時の場合を記載します。
図６は普通に接続した場合の図です。電源の線間電圧は２００Ｖ、誘導電動機巻線の結線はデルタです。
図３は怪しげな結線図です。
図３を下記のように書くと解って貰えるかも？
デルタに接続した場合の巻き線電流の算出方法です。
巻線電流は線電流の１／√３倍になります。これを証明します。
前ページの図６を使って説明します。
Ａ点に注目してキルヒホッフの原理を導入し、流入する電流をプラス、流出する電流をマイナスとすると下記の方程式が得られます。
このままでは当然の話としてこの方程式は解けません。（変数が６個有って、関係式が３個しか無い。従って絶対に解けない。）
ここで出来るだけ計算を簡略化して、解答を導き出す事を考えます。
さらにこの式をベクトルオペレータを使って変形します。ベクトルオペレータとは１２０°ずつ位相のずれたベクトルを扱う時に使用する複素数です。次項に解説を記載します。
ベクトルオペレータをαと書きます。
α＝－１／２＋j√３／２という複素数です。
これは下図の値を持つ長さが１のベクトルです。
つまり、１∠１２０°（長さが１、角度が１２０度）と等価です。
又、∠１２０°は∠－２４０°と等しくなりますので、αは下記のように書けます。
α＝－１／２＋j√３／２＝１∠１２０°＝１∠－２４０°
α2は次のようになります。
α＝－１／２＋j√３／２だから
α2＝（－１／２＋j√３／２）の２乗
＝１／４－j√３／２－３／４
＝－１／２－j√３／２
＝１∠２４０°＝１∠－１２０°
今度は右辺の変形を試みます。巻線コイルに流れる電流の電流値は未だ解りません。
α＝－１／２＋j√３／２ですから、
Ｉ＝｛１－（－１／２＋j√３／２）｝・Ｉux△
Ｉ＝（３／２－j√３／２）・Ｉux△
Ｉux△＝Ｉ／（３／２－j√３／２）
Ｉux△＝Ｉ／{√３×（√３／２－j１／２）} ＜＝結果が解っているのでこの様な不思議な変換が出来ます。
この式のアンダーラインの部分（√３／２－j１／２）に注目します。
これをベクトル座標に書いてみると下記の様になります。
長さが１で３０°遅れのベクトルになっています。
従って、この式は次のように変改できます。
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